la proporcionalidad

Muchos de los temas fundamentales en matemáticas derivan del concepto de proporcionalidad, que se promueve en el grado séptimo y que sirve como una base sólida para el posterior desarrollo del pensamiento matemático en grados superiores. 

REALIZA EL EJERCICIO SOBRE PORCENTAJES

http://ntic.educacion.es/w3//recursos/primaria/matematicas/porcentajes/menuu3.html


La proporcionalidad proporcion es una  relacion  entre magnitudes medibles y  abarca una gran cantidad de conceptos y aplicaciones. Aquí se relacionan algunos de ellos:




a)      PROPORCIÓN: es la igualdad de dos razones, se simboliza a/b = c/d o a:b=c:d, donde a y d reciben el nombre de extremos y b y c reciben el nombre de medios.
a proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el ":" para separar los valores, o como un solo número dividiendo un valor para el total.
Ejemplo: si hay un niño y tres niñas la proporción podría escribirse así:
1:3 (por cada niño hay 3 niñas)
1/4 son niños y 3/4 son niñas
0.25 son niños (dividiendo 1 por 4)
25% son niños (0.25 como 

a)      RAZÓN: la razón entre dos cantidades a y b con b≠ 0 es el cociente indicado de dichas cantidades. Se simboliza a/b o a:b. donde a es el antecedente y b es el consecuente.



  MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al comparar las medidas que se corresponden de dichas magnitudes, se obtiene una razón constante (y/x=K). Pero si al comparar dos magnitudes ambas aumentan o ambas disminuyen y la razón entre sus medidas no es constante, las magnitudes se llaman directamente correlacionadas.

  MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las medidas que se corresponden de dichas magnitudes, es constante (y.x=K). Pero si al comparar las dos magnitudes una de ellas disminuye y la otra aumenta o viceversa y el producto de los valores correspondientes no es constante, las magnitudes son inversamente correlacionadas.


Regla de tres simple directa
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud 

Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio

Regla de tres simple inversa 
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud 

En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

Proporcionalidad compuesta

Diremos que un problema es de proporcinalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al intervener más de dos magnitudes las relaciones proporcinales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcinal entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo.

Proporcionalidad directa entre las magnitudes 

Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºCse han necesitado 1000 calorías. Si quremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC ¿Cuántas calorías son necesarias?
En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el salto térmico y la cantidad de calorías.
¿Cuál es la relación entre las magnitudes?
Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación directa)
Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá queusar más calorías (relación directa).
Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos a calcular cuantas calorías hacen falta para subir un grado un litro de agua.

Lítros de agua	Salto térmico	Calorías
2	20	1000
1	20	1000/2 =500	Para calentar un litro de agua 20ºC hacen falta 500 calorías
1	1	500/20=25	Para calentar un litro de agua 1 grado hacen falta 25 calorías
3	50	25·3·50=3750	Luego para calentar 3 litros 50ºC harían falta 3750 calorías

Proporcionalidad compuesta

Diremos que un problema es de proporcinalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al intervener más de dos magnitudes las relaciones proporcinales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcinal entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo.

Proporcionalidad inversa entre las magnitudes 

Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días ¿Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla?
¿Cuál es la relación entre las magnitudes?
A mayor cantidad de horas hacen falta menos obreros (relación inversa)
A más días trabajando hacen falta menos obreros (relación inversa).
Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad.

Horas	Días	Obreros
10	9	4
1	9	4 · 10 = 40	Si en lugar trabajar 10 horas trabajan 1 haran falta 40 obreros para hacer el trabajo que hacen 4
1	1	40 · 9= 360	Si en lugar de hacer el trabajo en 9 días lo queremos hacer en 1, habrá que aumentar la plantilla hasta 360 obreros
6	12	360/(6·12) = 360/72=5	Luego la otra cuadrilla tiene 5 obreros.

Repartos proporcionales

En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor

Reparto proporcional directo
A una mayor cantidad corresponde mayor proporción

Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para crear una empresa 5000, 8000 y 10000 euros respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene 2300 euros de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo.
LLamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el beneficio y la aportación




Por tanto Antonio recibirá 500 euros, José recibirá 800 euros y Ana 1000 euros.

Repartos proporcionales

En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor

Reparto proporcional inverso 
A una mayor cantidad corresponde menor proporción

Un padre quiere repartir 15000 euros entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo?
LLamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamente




Por tanto al niño de 3 años le corresponden 10.000 €, al de 10 años 3.000 € y al de 15 2000 €.

 PORCENTAJE: se llama porcentaje o tanto por ciento a todas aquellas razones donde el consecuente es 100. Se representa con el signo %, que significa por cada 100.

 INTERÉS: interés simple es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al invertir dinero, también se puede definir como la cantidad de dinero que se debe pagar por pedir prestado dinero.